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方差(Variance)  

2013-11-30 07:33:27|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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方差和标准差测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。

  方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数,通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释,所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。

  标准差又称均方差,一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法加权平均法,另外,对于总体数据和样本数据,公式略有不同。

方差的计算公式

  设总体方差为σ2,对于未经分组整理的原始数据,方差的计算公式为:

  \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X})^2}{N}

  对于分组数据,方差的计算公式为:

  \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^K(X_i-\bar{X})^2 f_i}{\sum_{i=1}^K f_i}

  方差的平方根即为标准差,其相应的计算公式为:

  未分组数据:\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X})^2}{N}}

  分组数据:\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K(X_i-\bar{X})^2 f_i}{\sum_{i=1}^K f_i}}

样本方差和标准差

  样本方差与总体方差在计算上的区别是:总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和,而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和,其中样本数据个数减1即n-1称为自由度。设样本方差为S_{n-1}^2,根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为:

  未分组数据:S_{n-1}^2=\frac{\sum_{i=1^n(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}

  分组数据:S_{n-1}^2=\frac{\sum_{i=1^k(x_i-\bar{x})^2 f_i}}{\sum_{i=1}^k f_i-1}

  未分组数据:S_{n-1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1^n(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}}

  分组数据:S_{n-1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1^k(x_i-\bar{x})^2 f_i}}{\sum_{i=1}^k f_i-1}}

  例:考察一台机器的生产能力,利用抽样程序来检验生产出来的产品质量,假设搜集的数据如下:

3.433.453.433.483.523.503.39
3.483.413.383.493.453.513.50

  根据该行业通用法则:如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005,则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭?

  解:根据已知数据,计算\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=3.459

  S^2=\frac{\sum(x-\bar{x})^2}{n-1}=0.002<0.005

  因此,该机器工作正常。

  方差和标准差也是根据全部数据计算的,它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值,因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。

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